teadus.ee » Arhiiv » Ämbliku maailma võrgus

See Tiit Kändleri essee ilmus oktoobrikuu Eesti Looduses 2017

Nimetada tippkeskuseks innustunud teadlase rühma, mis püüab meile seletada, et nn arvamusliidrite nõnda armastatud termin „talupojamõistus“ ei toimi ega selgita meile maailma, kuhu inimene oma leiutistega on jõudnud ja milles ta tegutseb, on omamoodi trikk. Kui maailm on mittelineaarne, siis on selle tipp kas noatera või lõpmatusse hüppav funktsioon, mis vajab julmalt renormeerimist. Aga olgu, siiski jääb talupojamõistusest üks osa vajalikuks ka kaootilise maailma inimmõistusele vajalikul määral korrastatud piiril. Mulle seletas talupojamõistuse seoses Ernst Öpiku fenomeniga selgelt ära akadeemik Jaan Einasto. See on, kui ise otsustad, ise teed ja ise ka vastutad.

Jalutaja paradoks  

Kujutage ette, et te ei jaluta mitte nõnda, et iga sammuga astute edasi meetrikese, vaid esimese sammuga meetri, teisega kaks, kolmandaga neli ja nõnda edasi.11. sammuga astute juba 1024 meetrit ning olete edenenud kaks kilomeetrit. Teie kaaslane alustab samast punktist, kuid nurgasekundi murdosakese suunaga põhja poole. Küsimus on, kuidas kahe jalutaja liikumist kirjeldada. Kas see süsteem on stabiilne või hälbib, hajub, nii et trajektoorid lahknevad ja jäävadki lahknema? Eriti kui arvestada, et inimene käib pigem vinka-vonka.

See on mittelineaarne jalutuskäik ja iga korralik mittelineaarsete nähtuste analüütik pakub teile vastuseks jalutuskäiku kirjeldava võrrandi (muidugi mittelineaarse ja ligikaudse) ning selle lahendi, mis üldjuhul on saadud mingis lähenduses. Mida muud on teil teha, kui teda uskuda, sest ise ei suuda te kontrollida, kas näete veel kunagi oma sõpra või mitte. Elu ei ole tavaliselt nii pikk, et kontrollida matemaatikut katseliselt. Parajat irooniat lubades võime määratleda mittelineaarsete nähtuste uurijad kui teadlased, keda me peame võtma hea usu peale.

Siinkohal on sobilik tuua üks ajalooline ja matematiliselt banaalne näide.

1850. aastatel oli üks juhtivaid asjatundjaid arvuteooria alal, eriti lõpmatute ridade alal Göttingenis töötav saksa matemaatik Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859). 1858. aastal usaldas ta oma tudengile Leopold Kroneckerile (1823–1891), et oli leiutanud uue tehnika, lahendamaks mõningaid diferentsiaalvõrrandite perekondi, millel pole analüütilist lahendust. Ta vihjas detailidesse laskumata, et ta oli kasutanud seda tehnikat, et tõestada, et planeetide orbiite kirjeldavad lähendatud, lõpmatute ridadena esitatud lahendused koonduvad. Kahjuks suri Dirichlet 1859. aastal 54-aastasena. Ei Kronecker ega keegi teine suutnud Dirichlet’ vihjet kasutades kõnealuste ridade koonduvust tõestada. Keegi siiski ei kahelnud, et ta kõneles tõtt – nõnda kõrge oli Dirichlet maine.

1880. aastate lõpuks hakkas see lahendamata probleem matemaatikuid painama, ja nõnda korraldas Stockholmi Ülikool kuningas Oscar II läheneva 60. sünnipäeva eel suure auhinnaga võistluse nelja küsimuse lahendamiseks. Üks neist oli küsimus: kas Päikesesüsteem on stabiilne?

William Hamilton (1806–1865) oli tulnud ideele Newtoni füüsikaseadused ümber sõnastada, kasutades osakeste kahte omadust – asukohta ja impulssi. Nõnda sai ta kolme ruumi- ja kolme impulsikoordinaadiga kuuemõõtmelise faasiruumi. Kahe osakese puhul tühjas kastis läheb vaja 12-mõõtmelist faasiruumi. Kuid osa faasiruumist on määravam, osas faasiruumis on osakeste jaotus ühtlane. Faasiruum on nagu maastik. Faasiruum on topoloogia lihtne näide ja Henri Poincaré (1854–1912) kasutas seda, tõestamaks, et Päikesesüsteem on stabiilne. Ta muutis mehaanika ja dünaamika probleemi geomeetria probleemiks. Oma võistlustöös ei käsitlenud Poincaré kogu Päikesesüsteemi, vaid ainult kolme keha probleemi. Tal kulus 200 lehekülge, et teatud lihtsustuste puhul tõestada, et kolme keha süsteem saab olla stabiilne. Kohtunike jaoks oli matemaatiline kaadervärk uudne ja Poincaré sai auhinna, kuna kuninga sünnipäev, 21. jaanuar 1889 lähenes. Kui artikkel ära trükiti, leidsid matemaatikud sellest vea. Kuid Poincaré võttis kätte ja parandas selle, avaldades uue töö 1890. aastal.

¤

¤

¤

¤

¤

¤

¤

Riia. Valgus ja vari. Kuulus Albrta juugendtänav. Foto: Tiit Kändler

Ainul et, Poincaré enesegi üllatuseks jõudis ta nüüd vastupidisele tulemusele: kolme keha ebastabiilsus on normaalne, pidevalt stabiilsed orbiidid aga erand. Lubatagu nüüd küsida, miks meie Päikesesüsteem püsib? Me võime planeetide orbiidid arvutada mistahes täpsusega ja arvutused näitavad, et Päikesesüsteemi olukorras saavad planeedid säilitada suhteliselt kaua oma orbiite – inimliku ajaskaalaga võrreldes. Päikese elueaga võrreldes pole aga need rangelt perioodilised.

Meil ei jää ka siin üle muud kui uskuda seda juttu, mis on enam või vähem kaootiliselt maha viksitud astrofüüsik John Gribbini 2004. aastal esmailmunud raamatust „Deep Simplicity“, ning vähemalt kord olla õnnelik inimese eluea suhtelise lühiduse üle. (On asjakohane lisada, et kolme keha olukord pole muutunud, mida kinnitas oma loengus 2014. aasta suvel Kopenhaagenis toimunud Euroopa Avatud Teadusfoorumil nüüdiskuulsus matemaatikas, 2010. aastal Fieldsi medali võitnud elegantne prantslane Cédric Villani (vt alumisel fotol)

Jah, kole oleks näha planeedisüsteemi drastiliselt ümber rivistumas.

Keeruka maailma keerutus

Sattunud puhtast huvist Riia linna vastu septembri keskel Riias peetud Euroopa planeediuurijate, asteroidide ja meteooride ning komeetide huviliste teaduskongressile, ootasin sealt valgust probleemile, miks kõik see kupatus koost ei varise. Kuid selgus, et kuigi koos oli 800 teadlast, ei peetud üldistavaid ettekandeid, Kõik tegelesid oma andmete töötlemisega, et kirjeldada Päikesesüsteemi planeetide, eksoplaneetide ja muude vähemate Päikesesüsteemi taevakehade mõne üksiku omaduse täpsustamisega. Jah, andmeid on kogunenud tohutult, katsu sa neid üldistada. Olles uurinud Ernst Õpiku kogutud teoseid mis kenasti köidetuna Tartu Observatooriumis riiulil, olemata astronoom, tundus mulle, et Öpikul oli poilt meie ümber  toimuvast universumist selgem. Ta rõõmustas kunagi 1930. aastatel Tartus, et see linn sobib teadustööks suurepäraselt vaimse keskkonna tõttu, ent mitte arvukate pilviste ööde tõttu – muidu oleks tal läinud vaja palju enam raha, et palka maksta oma enamuses naisarvutajate suurenevale kogule.

Me võime näha, kuidas tahkiste ehitust kompavad lained toovad sealt välja vajalikku salateavet sealhulgas selle kohta, kas raudbetoon, mis nüüdisajal segatakse koos terasvarrastega, on ausalt valmistatud. Me võime tunnetada, kuidas omaette osake soliton, mis on ühelt poolt justkui matemaatikute välja mõteldud, teiselt poolt keskkondades, ka meres, reaalne ja jõuline, võib hävitada või vajalikku  teavet tuua. Me võime visualiseerida Eesti suurimat visualiseerimise süsteemi, me võime kujutleda klaverikeele kõla, mis on nähtavaks tehtud helilainete mõõtmisega. Me võime heita pilgu mere otsatusse lainemaailma, imestada, kust süda saab oma energia, et usinalt tuksuda, uurida peidetud juhtimissüsteemide printsiipe ja avalikkuse õrna tasakaalu. Praktilise meele tasakaalustamiseks saame vaadata mitte ainult läbi klaasi, vaid klaasi sisse. Kes pole veel  pead kaotanud, saab mõtiskleda footonite imeliste trikkide üle.

Labane on öelda, et seda kõike seob mittelineaarsus või koguni  kaootilise maailma imepärane võime luua korrastatud saarekesi. Kui me poeme virtuaalselt looduse selja  taha ja vaatame asja sealt poolt, siis näeme, et mingeid eri  teadusharusid ei ole olemas. On vaid inimene, kes olles hädas looduse toimimise mõistmisega, on pidanud maailma kastistama ja nüüd on jõudnud  järeldusele, et kastikeste vahelised seinad tuleb kui mitte maha tõmmata, siis läbipaistvaks muuta ometi.

Õpikul oli geniaalse matemaatiku pea, mis lõo statistiliselt usutava korra peaaegu kõigis universumi mõõdetavates valdkondades. Arvutite saabudes tema neid kasutama ei hakanud – milleks mul enesel pea? – küsis.  Võib-olla kasutavad astronoomid liigselt arvuteid, võib-olla on arvud muutunud tähtsamaks asja olemusest, mis universumi universaalseid nähtusi piirab ja kaitseb?

Riia linn on saanud nõnda laiad teed ja puiesteed, suured pargid, kui kindlustuste otstarbe kadudes linnamüür maha tõmmati ja bastionide süsteem tasandati. Aja edenedes kogunes rikkus, Rootsi võimu ajal oldi selle suurim linn, Tsaari-Venemaal kolmas sadamalinn. Arhitektuuri arenguvool tõi arhitekte, kes ehitasid hulgaliselt säilinud juugendmaju. Linnaäärsete 19. sajandi villade suurus paneb imestama. Tahad seda kõike mitte ainult nautida, vaid ka mõista. Mulle tundub, et arvutiga pole sel juhul midagi peale hakata. Kas pole ehk astronoomidki end liigselt arvutite taha istutanud, selle asemel, et asjade üle järele mõtelda?

Võib-olla sipleme universaalse universumi ämbliku maailma võrgus, kui kolm keha nagu Kuu, Maa ja Päike meile täpselt teada olematutel põhjustel koos püsivad.